Осевая и центральная симметрия

Введение

«Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе»

Л.Н. Толстой

Объект исследования – симметрия.

Предмет исследования – симметрия в жизни.

Цель работы: выяснить, как проявляется симметрия в жизни.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:

1. Дать общее понятие о симметрии, о видах симметрии, симметрии в жизни.
2. Сделать фотографии всего, что мы можем и проанализировать, симметричны ли они, найти оси и центры симметрии.
3. Продемонстрировать, как будут выглядеть одежды, если их одежды будут не симметричные относительно левой и правой части.
4. Представить результаты наблюдения в презентации.

Гипотеза исследования: симметрия это — гармония и красота, равновесие, устойчивость.

Методы исследования:

1. Анализ статей о симметрии в жизни.
2. Наблюдение.
3. Компьютерное моделирование (обработка фотографий средствами графического редактора).
4. Обобщение и систематизация полученных данных.

Этапы работы:

1. Подготовительный. Изучение литературы, составление плана.
2. Основной. Сбор информации, фотосъёмка, обработка фотографий.
3. Заключительный. Систематизация полученной информации, составление презентации.

Актуальность темы. Тема проекта по математике «Симметрия в жизни» очень актуальна и интересна. В наше время, наверное, трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. Мир, в котором мы живем, наполнен симметрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека.

С симметрией мы встречаемся буквально на каждом шагу: в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.

Введение

Темой данной работы является понятие симметрии. Есть мнение, что симметрия играет ведущую, хотя и не всегда осознанную роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни.

Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?

Существует, в принципе, две группы симметрий. К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

Цель : Изучить проявления симметрии в различных областях жизни человека и общества.

1. Определить основные признаки понятия симметрии.

2. Определить присутствие симметрии в живой и не живой природе, в лингвистике, в искусстве.

3. Изучить достоинства симметричных предметов в образном восприятии человека.

Актуальность обусловлена тем, что симметрия окружает человека, находя свое проявление как в живой, так и не в живой природе, а также большинстве творений человека: в архитектуре, в искусстве и т.д

Объяснение законов симметрии важно для понимая красоты и гармонии. Результаты проекта будут интересны для учащихся средней школы

В данной работе я исследую геометрическую симметрию и покажу, что геометрическая симметрия присутствует во всем, что нас окружает, с чем мы сталкиваемся постоянно в обыденной жизни.

Содержание

• Слайд 1

• Слайд 2

• Слайд 3

  • Понятие симметрии хорошо знакомо и играет важную роль в повседневной жизни. Многим творениям человеческих рук умышленно придается симметричная форма как из эстетических, так и практических соображений.
  • В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота». Действительно, по-гречески оно означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

• Слайд 4

  • Зеркальная симметрия
  • Двусторонняя симметрия
  • Осевая симметрия
  • Параллельный перенос
  • Центральная симметрия

• Слайд 5

  • Отражательная симметрия или осевая симметрия — вид движения (зеркального отражения), при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осесимметрична и имеет 3 оси симметрии (две — в плоскости фигуры), если это не квадрат.
  • Вращательная симметрия. В естественных науках под осевой симметрией понимают вращательную симметрию (другие термины — радиальная, аксиальная, лучевая симметрии) относительно поворотов вокруг прямой. При этом тело (фигуру, задачу, организм) называют осесимметричными, если они переходят в себя при любом (например, малом) повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осесимметричным телом, но конус будет.
  • Применительно к плоскости эти оба вида симметрии совпадают (считаем, что ось тоже принадлежит этой плоскости).

• Слайд 6

• Слайд 7

• Слайд 8

• Слайд 9

• Слайд 10

  • Двусторонняя симметрия — симметрия зеркального отражения, при которой объект имеет одну плоскость симметрии, относительно которой две его половины зеркально симметричны. Если на плоскость симметрии опустить перпендикуляр из точки а и и затем из точки О на плоскости симметрии продолжить его на длину аО, то он попадёт в точку а1, во всем подобную точке а. Ось симметрии у билатерально симметричных объектов отсутствует. У животных билатеральная симметрия проявляется в схожести или почти полной идентичности левой и правой половин тела. При этом всегда существуют случайные отклонения от симметрии (например, различия в папиллярных линиях, ветвлении сосудов и расположении родинок на правой и левой руках человека). Часто существуют небольшие, но закономерные различия во внешнем строении (например, более развитая мускулатура правой руки у праворуких людей) и более существенные различия между правой и левой половиной тела в расположении внутренних органов. Например, сердце у млекопитающих обычно размещено несимметрично, со смещением влево.
  • У животных появление билатеральной симметрии в эволюции связано с ползанием по субстрату (по дну водоема), в связи с чем появляются спинная и брюшная, а также правая и левая половины тела. В целом среди животных билатеральная симметрия более выражена у активно подвижных форм, чем у сидячих. Билатеральная симметрия свойственна всем достаточно высокоорганизованным животным, кроме иглокожих. В других царствах живых организмов билатеральная симметрия свойственна меньшему числу форм. Среди протистов она характерна для дипломонад (например, лямблий), некоторых- форм трипаносом, бодонид, раковинок многих фораминифер. У растений билатеральную симметрию имеет обычно не весь организм, а его отдельные части — листья или цветки. Билатерально симметричные цветки ботаники называют зигоморфными.

• Слайд 11

• Слайд 12

  Зеркальная симметрия, это вид симметрии, часто наблюдаемый в природе и в созданных человеком вещах, — так называемая зеркальная симметрия. Человеческое тело обладает (приближенно) зеркальной симметрией относительно вертикальной оси. В зеркале правая и левая руки и другие части тела меняются местами, но видимое нами зеркальное отражение узнаваемо. Многие архитектурные сооружения, например арки или соборы, обладают зеркальной симметрией.

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

• Слайд 13

• Слайд 14

• Слайд 15

• Слайд 16

• Слайд 17

• Слайд 18

  Центральная симметрия

  Симметрия относительно точки или центральная симметрия — это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

• Слайд 19

• Слайд 20

• Слайд 21

• Слайд 22

• Слайд 23

• Слайд 24

Посмотреть все слайды

Геометрия и математика

Геометрия — раздел математики, который исследует пространственные фигуры и их свойства

Особое внимание уделяется симметрии, которая является важным понятием в геометрии. Осевая симметрия — один из видов симметрии, при котором фигура или объект делится на две части, которые полностью совпадают друг с другом

Осевую симметрию можно найти в разных областях жизни. Например, многие растения имеют осевую симметрию. Расположение лепестков, листьев и веток в определенном порядке создает симметричную фигуру. Также осевую симметрию можно обнаружить в архитектуре зданий, например, в симметрично расположенных колоннах или окнах.

Математика также связана с осевой симметрией в разных контекстах. Например, осевая симметрия используется при построении графиков функций. Если функция является четной, то ее график будет симметричен относительно оси OY. Если функция является нечетной, то ее график будет симметричен относительно начала координат.

Также в математике применяется понятие симметрии при решении задач по геометрии. Осевая симметрия может использоваться для нахождения радиуса окружности или длины стороны многоугольника.

Кроме геометрии, осевая симметрия также находит свое применение в других областях науки и техники, например, в оптике, кристаллографии и дизайне. Но в любом случае, знание основ математики и геометрии является важным для понимания принципов симметрии и их применения в разных областях жизни.

Применение законов симметрии человеком

Увидев проявление симметрии в природе, мне захотелось узнать, применяет ли человек эти узоры в своих творениях.

Симметрию можно найти почти везде, если знать, как ее искать. С древних времен многие народы владели концепцией симметрии в широком смысле слова — как о балансе и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях стремится к симметрии. С помощью симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Г. Вейль понимал симметрию как «неизменность объекта при определенном виде преобразования; объект является симметричным в том случае, если его можно подвергнуть некоторой операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования. Г. Вейль посвящен определенная глава с декоративной симметрией. Мы находим упорядоченность и подчиненность определенного набор правил в узорах и орнаментах.       

В огранке драгоценных камней нельзя не увидеть симметрию. Многие огранщики пытаются придать алмазу форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Поскольку гранат содержит те же элементы, что и куб, он высоко ценится ценителями драгоценных камней. Художественные изделия из граната были найдены в могилах Древнего Египта, относящихся к додинастическому периоду (более двух тысячелетий до нашей эры).   

В собраниях Эрмитажа особое внимание уделяется золотым украшениям древних скифов. Произведения из золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами необычайно тонки. 

Одно из наиболее очевидных применений законов симметрии в жизни — это строительство архитектуры. Это то, что мы видим чаще всего. В архитектуре оси симметрии используются как средство выражения архитектурного замысла. Примеров использования симметрии в архитектуре немало, один из которых — замечательный Новосибирский театр оперы и балета. И даже здесь, в городе Купино, есть симметричное здание — здание Администрации Купинского района.    

Другой пример использования человеком симметрии в своей практике — техника. В технике наиболее четко указываются оси симметрии там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например, у штурвала грузовика или штурвала корабля. Или одним из важнейших изобретений человечества, имеющим центр симметрии, является колесо, а пропеллер и другие технические средства также имеют центр симметрии.  

Даже там просматривается симметрия, на которую я никогда не обращал внимания. Например, если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно линии, вы заметите, что буквы с горизонтальной осью симметрии можно прочитать в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или вообще отсутствует, становятся «нечитаемыми».  

Есть языки, в которых стиль знаков основан на наличии симметрии. Итак, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину. 

История происхождения фиалки

Фиалка – однолетнее или многолетнее растение с плотной махровой листовой пластиной и мелкими соцветиями. Селекционерами получено большое количество сортов и гибридов, которые отличаются цветом бутонов и размером. Однако основным достоинством растения является их способность к цветению. Фиалка цветет долгий период – до 9 месяцев, при этом время года не влияет на этот процесс.

Легенды, связанные с фиалкой

С сенполией связано множество легенд и поверий, которые объясняют ее происхождение. Древнегреческие мифы рассказывают историю цветка фиалки. Однажды Аполлон испепелял своими жаркими лучами нежную нимфу. Девушке пришлось просить защиты у могущественного Зевса. Тот сжалился и обратил ее в красивую фиалку, укрыв от солнечных лучей в зарослях леса. Он спрятал красавицу так, что никто не мог видеть и любоваться ею.

Так продолжалось до тех пор, пока цветок не обнаружила Персефона. Она сорвала букет. На обратном пути ее украл Аид. Персефона испугалась и выронила цветы. Они просыпались с Олимпа на землю.

История появления в России

История возникновения комнатной фиалки в нашей стране началась с появления цветка в Европе. В 1893 году она была впервые представлена в Германии. В России об уникальном цветке узнали в середине XX века. Самая большая коллекция диких и селекционных экземпляров была собрана сотрудниками Ленинградского государственного университета. Позже, в 1962 году разведением и коллекционированием фиалок занялась семья Макуни. Супружеская пара занималась селекцией сенполий более 30 лет. За этот период они смогли вывести свыше сотни видов.

Родина цветка

Родиной сенполии является Африка, однако точное место назвать сложно. Впервые ее нашли в Танзании. Чаще цветок можно обнаружить в Японии, Андах, на севере Америки. Некоторые разновидности населяют субтропические регионы Бразилии, Южную Африку. Также сенполия произрастает в Новой Зенландии, в Европе, а в России встречается в южных районах Сибири. Любые виды в естественной среде обитания предпочитают открытую, слегка притененную местность умеренного климата. Для правильного роста и развития растения требуется влажный климат.

Биологическая классификация

Виды объединены в отдельный род. Их относят к травянистым растениям семейства геснериевые. Исходя из строения растения, фиалку классифицируют следующим образом:

• царство – растения;
• отдел – цветковые;
• класс – двупольные;
• порядок – ясноткоцветные;
• семейство – геснериевые;
• род – сенполии.

К иным видам классификации относят характеристику по размеру розетки, формы цветка, оттенкам бутонов, окрасу и форме листовой пластины.

Проект по теме «Симметрия». математика 6 класс.

Проект по теме «Симметрия».

математика 6 класс.

Основные положения концепции модернизации российского образования подчёркивают необходимость создания целостной системы универсальных знаний , умений и навыков , самостоятельной деятельности и личной ответственности обучающихся. Академик РАО В.С. Лазарев считает , что для улучшения результатов образования в части развития способностей и умений обучающихся должен быть изменён способ обучения.

Обучающийся должен развивать способность самостоятельно ставить учебные цели, проектировать пути их реализации , контролировать и оценивать свои достижения. По моему мнению, проектно- исследовательская деятельность обучающихся относится к одному из эффективных способов построения образования, направленного на развитие личности. Так же , результаты проектно-исследовательской деятельности выражаются в категории компетенции и связаны с обобщёнными способами действий ( универсальных учебных действий). Основная идея образовательной технологии проектной деятельности состоит в развитии познавательной активности обучающихся к окружающему миру и к самому себе . Одними из технологий рекомендованных к использованию в школе, которые были представлена в материалах Московской Академии повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования, федерального оператора Приоритетного национального проекта «Образование» являются

Технология решения исследовательских задач(ТРИЗ)

иисследовательские и проектные методы ;

Можно выделить два направления применения технологии проектно-исследовательской деятельности: в урочной и внеурочной деятельности обучающихся. Я бы хотела рассказать о примере минипроекта в урочной деятельности по математике , по теме «Симметрия» для учеников 6 класса , обучающихся по УМК Дорофеева. Все исследования на уроке носят предметных характер и направлены на изучение программного учебного материала. На этапе закрепления , систематизации и коррекции знаний я предлагаю обучающимся 6 класса проект , который начинается на уроке и заканчивается дома . Проекту предшествует определённая работа :

1. На предметной неделе для учащихся 5-6 классов проводится беседа «Что я знаю о проектах?» . Учитель рассказал об основных понятиях , связанных с проектной и исследовательской деятельностью, обучающиеся поделились своим опытом из начальной школы участия в проектах и ученики 9 класса представили свой проект по математике «Удобно ли расположена моя школа?» , с которым они победили в районном конкурсе проектов.
2. Шестиклассники познакомились с памяткой для обучающихся « Что я должен знать о проекте? ».

Данный проект я рассматриваю как подготовительный или тренировочный для учеников , чтобы в дальнейшем они могли сами выбирать самостоятельно темы , формулировать проблемы и гипотезы проекта . Но я считаю , что творчество не может развиваться на пустом месте , оно базируется на опыте.

ПРОЕКТ по МАТЕМАТИКЕ

Участники проекта:(фамилия имя , класс)	___________________________________________ 6 класс
Руководитель проекта:	Федосеева О.В.
Цели проекта:	Научиться рисовать симметричные фигуры , достраивая их и используя ось симметрии; Научиться рисовать сложные фигуры симметрично данной точки;
Задачи проекта:	Дорисовать симметричные фигуры, используя ось симметрии; Нарисовать сложную фигуру симметричную данной , относительно точки О; Скопировать по клеточкам сложные фигуры ; Сделать вывод о возможности или невозможности построения центра симметрии сложной фигуры.
Ответить на вопросы:
Что такое симметрия?
Какие виды симметрии мы изучили на уроках математики?
Какие виды симметрии я буду рассматривать при выполнении проекта?
Почему по вашему мнению, нужно выполнить данных проект ?
Выполните задания проекта
Дорисуйте симметричные фигуры относительно заданной прямой. Каждую фигуру можно выполнить одним цветом.
Скопируйте фигуру задания № 2 на тетрадный лист .Нарисуйте фигуру , симметричную данной , относительно точки О. Точку О поставить произвольно. Наклейте тетрадный лист с получившимися фигурами на лист А4.
Скопируйте фигуру задания № 3 на тетрадный лист и постройте центр симметрии данной фигуры. Можно ли его построить ? Запишите вывод и пояснение : Почему можно или нельзя. Наклейте тетрадный лист с получившейся фигурой и вашими выводами на лист А4.

ЗАДАНИЕ № 1.

ЗАДАНИЕ № 2.

ЗАДАНИЕ № 3.

Свойства центральной симметрии

Основные свойства следующие:

1. Центральную симметрию называют движением, при котором соответствующие точки также остаются симметричными, то есть расстояние между ними остаётся прежним.

Посмотрим на рисунок. Треугольники АВС и А₁В₁С₁
симметричны в пространстве относительно точки О. При каком либо преобразовании пространства сохраняются условия: АО=А₁О, ВО=В₁О, СО=С₁О. Значит, картинка остаётся той же.

Однако если представить геометрическую фигуру в виде векторов, то при преобразовании пространства эти векторы поменяют свои направления;

2. Центральная симметрия имеет только одну центральную точку, которая является неподвижной при преобразовании пространства;

3. Если прямая проходит через центр симметрии, то она соответствует самой себе, то есть симметрична;

4. Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через центр симметрии, в параллельную ей прямую.

Доказывается это свойство достаточно просто. Для этого нужно построить две параллельные прямые АВ и А₁В₁ относительно точки О_.

Далее соединяем симметричные точки и получаем отрезки АА₁ и ВВ₁. Далее легко заметить, что отрезки АО и А₁О будут равны. Соответственно равны и отрезки ВО и В₁О. Углы, которые образуются при пересечении двумя прямыми точки О также равны. 

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны углы А,А₁ и В,В_1. Значит они являются накрест лежащими при секущих АА₁ и ВВ₁. Задача решена, АВ и А₁В₁ параллельны;

5. При центральной симметрии отрезки симметричны отрезкам, лучи симметричны лучам, прямые симметричны прямым.

Снежинки

Даже такие крошечные вещи как снежинки тоже образуются по законам порядка, так как большинство снежинок формируются в виде шестикратной радиальной симметрии со сложными, идентичными рисунками на каждой из её ветвей.

Понять, почему растения и животные выбирают симметрию, сложно само по себе, но неодушевлённые объекты – как же им это удаётся? По-видимому, всё сводится к химии, и в частности к тому, как молекулы воды выстраиваются по мере своего замерзания (кристаллизуются).

Молекулы воды приходят в твёрдое состояние путём образования слабых водородных связей друг с другом. Эти связи выравниваются в упорядоченном расположении, которое максимизирует силы притяжения и снижает силы отталкивания, что как раз и является причиной образования гексагональной формы снежинки. Однако всем нам известно, что двух одинаковых снежинок не бывает, так как же снежинка формируется в абсолютной симметрии сама с собой, но не похожа на другие снежинки? По мере того как каждая снежинка падает с неба она проходит через уникальные атмосферные условия, такие как температура и влажность, которые влияют на то, как кристаллы «растут» на ней. Все ветви снежинки проходят через одни и те же условия и следовательно кристаллизуются одинаковым образом — каждая ветвь является точной копией другой. Ни одна другая снежинка не проходит через те же условия по мере своего спуска, поэтому они все выглядят немного по-разному.

Биология и анатомия

В биологии и анатомии осевая симметрия является одной из основных характеристик живых организмов. Она представляет собой симметрию тела относительно медиальной плоскости, проходящей вдоль продольной оси организма.

Осевая симметрия присутствует не только у человека, но и у многих других животных, например, у всех позвоночных

Благодаря ей можно легко определить левую и правую стороны тела, что важно при проведении медицинских и биологических исследований

В анатомии каждый орган и система органов имеет свою собственную осевую симметрию. Например, сердце, печень и легкие имеют асимметричную форму, но все же сохраняют осевую симметрию внутри себя, что облегчает проведение операций и других медицинских процедур.

• Исследование осевой симметрии в биологии и анатомии является важным направлением в научной деятельности.
• Она помогает лучше понимать структуру и функции организмов, а также помогает в разработке новых методов лечения и диагностики заболеваний.

Таким образом, осевая симметрия является важным аспектом жизни не только человека, но и многих других живых организмов. Изучение этой характеристики помогает лучше понимать биологические и медицинские процессы, а также разрабатывать новые методы лечения и диагностики заболеваний.

Заключение

Изучив и исследовав тему «Симметрии» я узнал, что помимо осевого, зеркального и центрального типов симметрии, которые мы изучаем в школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например, в природе — вращательная, винтовая, в кристаллография в целом — 32 вида.

Таким образом, изучая симметрию законов природы, рано или поздно можно глубже проникнуть в суть живого, объяснить ход эволюции и дать возможность человеку чаще применять эти законы симметрии в жизни.

Рассматривая архитектуру зданий, предметы декора и быта, технические изобретения, мы видим в них наличие центрального, поворотного, переносного, осевого и зеркального типов симметрии, дающих ощущение спокойной уверенности и эстетической привлекательности.

Симметрия, проявляясь в самых разнообразных объектах природного мира, несомненно, отражает его самые общие свойства. Поэтому изучение симметрии различных природных объектов и сравнение его (исследования) результатов — удобный и надежный инструмент для понимания гармонии мира.