Доклад осевая и центральная симметрия 6, 8, 9 класс

Содержание

• Слайд 1

• Слайд 2

• Слайд 3

  • Понятие симметрии хорошо знакомо и играет важную роль в повседневной жизни. Многим творениям человеческих рук умышленно придается симметричная форма как из эстетических, так и практических соображений.
  • В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота». Действительно, по-гречески оно означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

• Слайд 4

  • Зеркальная симметрия
  • Двусторонняя симметрия
  • Осевая симметрия
  • Параллельный перенос
  • Центральная симметрия

• Слайд 5

  • Отражательная симметрия или осевая симметрия — вид движения (зеркального отражения), при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осесимметрична и имеет 3 оси симметрии (две — в плоскости фигуры), если это не квадрат.
  • Вращательная симметрия. В естественных науках под осевой симметрией понимают вращательную симметрию (другие термины — радиальная, аксиальная, лучевая симметрии) относительно поворотов вокруг прямой. При этом тело (фигуру, задачу, организм) называют осесимметричными, если они переходят в себя при любом (например, малом) повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осесимметричным телом, но конус будет.
  • Применительно к плоскости эти оба вида симметрии совпадают (считаем, что ось тоже принадлежит этой плоскости).

• Слайд 6

• Слайд 7

• Слайд 8

• Слайд 9

• Слайд 10

  • Двусторонняя симметрия — симметрия зеркального отражения, при которой объект имеет одну плоскость симметрии, относительно которой две его половины зеркально симметричны. Если на плоскость симметрии опустить перпендикуляр из точки а и и затем из точки О на плоскости симметрии продолжить его на длину аО, то он попадёт в точку а1, во всем подобную точке а. Ось симметрии у билатерально симметричных объектов отсутствует. У животных билатеральная симметрия проявляется в схожести или почти полной идентичности левой и правой половин тела. При этом всегда существуют случайные отклонения от симметрии (например, различия в папиллярных линиях, ветвлении сосудов и расположении родинок на правой и левой руках человека). Часто существуют небольшие, но закономерные различия во внешнем строении (например, более развитая мускулатура правой руки у праворуких людей) и более существенные различия между правой и левой половиной тела в расположении внутренних органов. Например, сердце у млекопитающих обычно размещено несимметрично, со смещением влево.
  • У животных появление билатеральной симметрии в эволюции связано с ползанием по субстрату (по дну водоема), в связи с чем появляются спинная и брюшная, а также правая и левая половины тела. В целом среди животных билатеральная симметрия более выражена у активно подвижных форм, чем у сидячих. Билатеральная симметрия свойственна всем достаточно высокоорганизованным животным, кроме иглокожих. В других царствах живых организмов билатеральная симметрия свойственна меньшему числу форм. Среди протистов она характерна для дипломонад (например, лямблий), некоторых- форм трипаносом, бодонид, раковинок многих фораминифер. У растений билатеральную симметрию имеет обычно не весь организм, а его отдельные части — листья или цветки. Билатерально симметричные цветки ботаники называют зигоморфными.

• Слайд 11

• Слайд 12

  Зеркальная симметрия, это вид симметрии, часто наблюдаемый в природе и в созданных человеком вещах, — так называемая зеркальная симметрия. Человеческое тело обладает (приближенно) зеркальной симметрией относительно вертикальной оси. В зеркале правая и левая руки и другие части тела меняются местами, но видимое нами зеркальное отражение узнаваемо. Многие архитектурные сооружения, например арки или соборы, обладают зеркальной симметрией.

• Слайд 13

• Слайд 14

• Слайд 15

• Слайд 16

• Слайд 17

• Слайд 18

  Центральная симметрия

  Симметрия относительно точки или центральная симметрия — это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

• Слайд 19

• Слайд 20

• Слайд 21

• Слайд 22

• Слайд 23

• Слайд 24

Посмотреть все слайды

1.1. Осевая симметрия

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (Рисунок 2.1). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре (Рисунок 2.2).

Прямая а называется осью симметрии фигуры.
Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб (Рисунок 2.3).

Фигура может иметь не одну ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у равностороннего треугольника – три, у круга – любая прямая, проходящая через его центр.

Если присмотреться к буквам алфавита (Рисунок 2.4)., то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

В своей деятельности человек создаёт много объектов (в том числе и орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.

Вопрос-ответ:

Какие исторические факты способствовали возникновению концепции симметрии в математике?

Возникновение концепции симметрии в математике было обусловлено несколькими историческими факторами. Одним из них была работа Архимеда, который в своих исследованиях использовал симметричные формы и отношения. Ещё одним фактором были исследования египетских математиков, которые также использовали симметрию в своей работе. Важным вехой стало открытие группы симметрии окружности, которое сделал Пафнутий Чебышёв в 1871 году.

Как симметрия применяется в современных математических исследованиях?

Симметрия играет важную роль в современных математических исследованиях. Она используется в различных областях, таких как геометрия, алгебра, теория чисел и топология. Например, симметричные алгебраические структуры, такие как группы и кольца, являются основой абстрактной алгебры. Симметричные объекты и преобразования также используются для решения различных задач в физике, химии и биологии.

Какие вклады в исследование симметрии внесли математики в разные эпохи?

Математики разных эпох внесли значительные вклады в исследование симметрии. В Древней Греции Архимед использовал симметрию в своих исследованиях и доказательствах. В средние века учёные изучали симметрию в геометрии и алгебре. В новое время Пафнутий Чебышёв разработал теорию симметрии функций и внёс важный вклад в развитие математики. Современные математики продолжают исследование симметрии и применяют её в различных областях математики и наук.

Какие великие математики внесли вклад в исследование симметрии?

В исследование симметрии в математике внесли вклад множество великих умов. Некоторые из них: Архимед, Евклид, Леонардо Пизанский (Фибоначчи), Карл Фридрих Гаусс, Эмиль Эртель, Феликс Клейн, Георг Кантор, Эмиль Артин, Хари Шандер, Андрей Колмогоров, Александр Гротендик.

Какая роль симметрии в математике?

Симметрия играет важную роль в математике. Она помогает упростить и классифицировать объекты, а также найти закономерности и общие свойства. Симметричные фигуры и структуры также имеют эстетическое значение и широко используются в различных областях, включая геометрию, алгебру, теорию чисел и фракталы.

Какие приложения симметрии существуют в современном мире?

Симметрия имеет множество приложений в современном мире. Некоторые из них включают дизайн и архитектуру, кристаллографию, компьютерную графику, криптографию, физику и химию. Например, симметричные кристаллические структуры используются в разработке новых материалов, а симметрия в компьютерной графике помогает создавать реалистичные визуальные эффекты и анимацию.

Симметрия в геометрии и ее открытие в Древнем Египте

В Древнем Египте симметрия использовалась в архитектуре, искусстве и религии. Египтяне строили свои храмы, пирамиды и другие сооружения с использованием симметричных форм. Они верили, что симметричность отражает гармонию и космический порядок.

Одним из наиболее известных примеров использования симметрии в древнеегипетской архитектуре является Пирамида Хеопса. Ее форма является симметричной относительно вертикальной оси, что создает впечатление монументальности и величия.

Древнеегипетская симметрия также проявлялась в искусстве, особенно в изображениях богов и фараонов

Эти изображения были созданы с использованием симметричных форм и узоров, чтобы подчеркнуть важность и величие древнеегипетской власти и божественности

В целом, открытие и использование симметрии в геометрии Древним Египтом играло значительную роль в развитии математики и искусства. Это позволило древним египтянам создавать сложные и эстетически привлекательные сооружения и произведения искусства.

Осевая соразмерность

Такой способ пространственного представления распространен в культовых, монументальных, дворцовых комплексах. Осевая симметрия в архитектуре используется при урбанистическом строительстве, создании парково-рекреационных зон в городской черте.

Взаимное расположение объектов или частей композиции привязывают к воображаемой вертикали, пролегающей через центральный проспект или самую крупную транспортную магистраль.

Осевая симметрия свойственна площадным ансамблям горизонтального размещения. Показательными примерами такого типа организации пространства служат «Запретный город» в столице Китая, версальский парк, центральная часть Санкт-Петербурга.

Затейливое сочетание осевой симметрии с зеркальной прослеживается в архитектуре Казанского кафедрального собора. Такая тенденция воплощена в конструкции волгоградского планетария, историко-мемориального музея Сталинградской битвы.

Определение понятия и виды

В Википедии о ней говорится как о фундаментальном природном принципе. В природе это явление может проявляться как в живых, так и в неживых формах. В неживой природе оно наиболее выражено в кристаллах. В растительном и животном мире — свойственно значительному числу организмов и проявляется в виде взаимного расположения одинаковых частей тела относительно его центральной оси.

Она не только обуславливает строение биологического тела, но и влияет на формирование определенных систем жизнедеятельности организма. Для многих живых форм наличие центральной оси тела отвечает за устойчивость в однородной среде и на поверхности, что объясняется, по-видимому, воздействием силы планетарного притяжения.

Эволюционное развитие жизни на планете Земля привело к возникновению такого вида существ, как Homo Sapiens — «Человек разумный», что предопределило появление социальной эволюции и таких закономерных понятий, как «культура», «цивилизация» и «социосистема».

На протяжении многих тысяч лет, в процессе наблюдения за природными объектами человеческими существами был сделан вывод о том, что наиболее жизнеспособными формами являются отвечающие основополагающему соответствию схожих частей друг другу относительно общего центра. Так родилось понимание принципа, который можно считать базовым для человеческой культуры как степени единства в организации жизнедеятельности людей.

В древнегреческом языке слово «симметрия» соответствовало понятию «соразмерность», образованному сочетанием слов «совместно» и «мерю»

Если рассматривать явление в архитектуре, то внимание следует уделить пропорциональному соотношению архитектурных деталей, их упорядоченности и красоте при взаимном расположении. Это формирует силуэт здания, воспринимаемый слева, справа, сверху и снизу, о чем в своем докладе, сделанном в Триеннале в 1951 г., упомянул выдающийся французский архитектор Ле Корбюзье.

Анализ выдающихся произведений зодчества позволяет выделить основные виды симметрии в архитектуре, используемые при создании строительных объектов:

• зеркальная;
• осевая;
• центральная;
• переносная;
• винтовая.

Открытие симметрии в алгебре и анализе

Одним из первых, кто заметил симметричность в алгебре, был Франц Абеля. Он разработал теорию групп, которая описывает симметричность в алгебре. В своих работах Абель показал, что существуют различные типы групп и что симметрия может быть представлена в виде операций над элементами множества.

Другой важной фигурой в открытии симметрии в алгебре был Нильс Генрик Абел. Абел разработал теорию абелевых групп, которые являются особым типом групп и имеют определенные свойства симметрии

Он показал, что существуют группы, в которых можно выполнять операции коммутации, что является формой симметрии.

В анализе понятие симметрии также нашло свое применение. Одним из основоположников анализа и теории функций был Леонард Эйлер. Он заметил, что многие функции обладают определенными симметричными свойствами. Это позволило ему разработать методы и техники решения дифференциальных уравнений и изучения функций с помощью симметрии.

Симметрия в алгебре и анализе играет важную роль не только в теоретическом плане, но и в практическом применении. Она позволяет упростить вычисления, найти решения уравнений и понять свойства функций. Благодаря открытию симметрии в алгебре и анализе математики смогли разработать новые методы и инструменты для решения сложных задач и улучшения нашего понимания мира.

Архимед и его вклад в развитие симметрии

Архимед, древнегреческий математик, физик, инженер и изобретатель, сыграл значительную роль в развитии симметрии

Его работы и открытия в области математики и физики имели важное значение не только для его собственного времени, но и для последующих поколений ученых

Архимед также был автором теоремы об известном как «вертушка Архимеда», которая описывает свойства определенного класса кривых. Эта теорема основана на симметрии и позволяет вычислить длину кривой при помощи геометрических методов.

Кроме того, Архимед занимался исследованием симметрии в области механики. Он был первым, кто сформулировал принцип равенства давлений в жидкостях, который известен как «закон Архимеда». Этот принцип основан на симметрии: если на тело, погруженное в жидкость, действуют силы только с одной стороны, то оно будет испытывать поднимающую силу, равную весу вытесненной жидкости.

В целом, вклад Архимеда в развитие симметрии был огромным. Его работы и открытия в области математики и физики сыграли важную роль в формировании основ науки и вдохновили многих ученых последующих времен.

Свойства центральной симметрии

Основные свойства следующие:

1. Центральную симметрию называют движением, при котором соответствующие точки также остаются симметричными, то есть расстояние между ними остаётся прежним.

Посмотрим на рисунок. Треугольники АВС и А₁В₁С₁
симметричны в пространстве относительно точки О. При каком либо преобразовании пространства сохраняются условия: АО=А₁О, ВО=В₁О, СО=С₁О. Значит, картинка остаётся той же.

Однако если представить геометрическую фигуру в виде векторов, то при преобразовании пространства эти векторы поменяют свои направления;

2. Центральная симметрия имеет только одну центральную точку, которая является неподвижной при преобразовании пространства;

3. Если прямая проходит через центр симметрии, то она соответствует самой себе, то есть симметрична;

4. Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через центр симметрии, в параллельную ей прямую.

Доказывается это свойство достаточно просто. Для этого нужно построить две параллельные прямые АВ и А₁В₁ относительно точки О_.

Далее соединяем симметричные точки и получаем отрезки АА₁ и ВВ₁. Далее легко заметить, что отрезки АО и А₁О будут равны. Соответственно равны и отрезки ВО и В₁О. Углы, которые образуются при пересечении двумя прямыми точки О также равны. 

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны углы А,А₁ и В,В_1. Значит они являются накрест лежащими при секущих АА₁ и ВВ₁. Задача решена, АВ и А₁В₁ параллельны;

5. При центральной симметрии отрезки симметричны отрезкам, лучи симметричны лучам, прямые симметричны прямым.

Возникновение симметрии в математике

Идея симметрии имеет древние корни и пронизывает различные области человеческой деятельности. В математике концепция симметрии стала объектом исследования с древних времен и пережила множество развитий и совершенствований.

Первые шаги в изучении симметрии были сделаны греческими учеными, такими как Архимед и Евклид

Они обратили внимание на особенности геометрических фигур и определили различные виды симметрии, такие как осевая симметрия и центральная симметрия

В последующие века математики продолжали изучать симметрию и разрабатывать новые методы ее анализа. Важным вкладом в развитие теории симметрии стала работа немецкого математика Феликса Клейна в конце XIX — начале XX века. Он разработал систематический подход к изучению симметрии и формализовал ее определение.

Сегодня симметрия играет важную роль в различных областях математики, таких как геометрия, алгебра и теория групп

Она используется для решения различных задач, а также имеет важное значение в современных исследованиях, связанных с физикой и кристаллографией

• Симметрия помогает упростить сложные задачи и найти эффективные решения.
• Она позволяет классифицировать объекты и выявлять их общие характеристики.
• Симметрия находит применение в дизайне, искусстве и архитектуре, придавая им гармоничность и красоту.

Исследования симметрии продолжаются и современные математики работают над дальнейшим расширением ее теории и применениями в различных областях знания.

Вариант 2

Наверное, каждый слышал такие понятия, как «симметрия», «симметрично» и тому подобное. Но есть такие люди, которые не понимают значение данных синонимов. Так что же такое симметрия? Где ее применяют? И какие разновидности существуют?

Краткий экскурс о симметрии в общих чертах.

Постараюсь объяснить понятие симметрии на некотором примере. Представьте обыкновенную бабочку. Так, а теперь надо провести через нее линию. Когда линия окончательно проведена, необходимо посмотреть на правую и левую части рисунка. Если эти 2 части рисунка одинаковы по размерам и пропорциям, то это можно называть симметричной моделью. Короче говоря, симметрия – это полная соразмерность частей тела по отношению к линии. Где же применяется симметрия? Ну, симметрия встречается везде, где только можно. Геометрия, физика, биология, химия, культура – все это содержит симметрию, причем каждая отличается друг от друга. Еще существует понятие асимметрии. То есть, отсутствие правильной соразмерности. Еще стоит отметить, что симметрия не всегда бывает точной.

Некоторые виды симметрии, их характеристика и применение.

Всего наберется с десяток разных видов симметрий. Но рассмотреть необходимо только те, которые часто встречаются. Сразу стоит сказать, что обе из них находят применение в решении задач по геометрии. Итак, вот 2 главных вида симметрии:

Осевая симметрия.

Этот вид симметрии делится на 4 группы, отличающиеся друг от друга.

1) Отражательная симметрия – это зеркальное движение, в котором точки, не перемещающиеся никуда, соединены в одну линию – ось симметрии. Прямоугольник и параллелограмм – отличные примеры.

2) Вращательная симметрия – это осевая симметрия, которая относительна поворотам вокруг оси.

3) Осевая симметрия n – го порядка – это симметрия относительно поворотов на 360 градусов вокруг оси.

4) Зеркально поворотная осевая симметрия n – го порядка – то же самое, только перпендикулярно оси.

Центральная симметрия.

Это преобразование, при котором каждая точка А переходит в точку А1, при этом она симметрична предыдущей относительно оси О. Данная симметрия – это, по сути, тот же поворот на 180 градусов в планиметрии. Центральную симметрию от осевой отличает то, что в первом случае присутствует движение.

Перенос элементов вдоль прямой

Этот тип формирования архитектурного облика здания распространен меньше предыдущих. Принцип переноса, называемый трансляционной конструкцией, предполагает размещение одинаковых элементов с равными интервалами по обе стороны от линии симметрии.

Идентичные детали образуют единую, логически завершенную, эстетически безупречную композицию. Одинаковые фрагменты располагают на воображаемой прямой, пересекающей центр архитектурного ансамбля.

Расстояние между близлежащими идентичными деталями называют шагом. Такой способ визуального представления сооружения применяют при оформлении фасадных поверхностей, интерьерных композиций, декорировании плоскостей.

Примеры переноса элементов вдоль прямой – меандровые орнаменты, типичные для этрусской, византийской, романской архитектуры. Такой узор встречается в оформлении фасадов, балюстрад, внутренних залов, парковых ансамблей дворцовых комплексов эпохи Возрождения.

1.3. Поворотная симметрия

Предположим, что объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … В этом случае о поворотной симметрии, а указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.

Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия. Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой.

Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°. Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф».

На рисунке 2.7. даны примеры простых объектов с поворотными осями разного порядка – от 2-го до 5-го.

Применение симметрии в физике и других науках

Одним из наиболее известных примеров применения симметрии в физике является использование группы симметрии для описания физических систем. Группа симметрии — это математический объект, который характеризует набор всех преобразований, сохраняющих форму и свойства системы. Например, группа симметрии может описывать преобразования, сохраняющие законы сохранения энергии, импульса или момента.

Концепция симметрии также находит применение в теории поля и теории элементарных частиц. В современной физике симметрия играет важную роль в построении моделей физических взаимодействий и предсказании новых физических явлений. Например, симметрия Лоренца используется в теории относительности для описания пространственно-временной симметрии физических законов.

Симметрия также применяется в химии для описания молекулярной структуры и химических свойств веществ. Механизмы химических реакций и взаимодействий молекул могут быть объяснены с помощью симметричных принципов.

В биологии симметрия играет важную роль в понимании структуры и функции организмов. Биологические системы, такие как органы, клетки и гены, обладают симметричной организацией, которая определяет их форму и функцию.

В математике симметрия изучается в различных областях, включая геометрию, алгебру и теорию групп. Математические методы и концепции симметрии находят применение во многих науках, помогая упростить и объяснить сложные явления и законы природы.

В заключение, применение симметрии в физике и других науках является мощным инструментом для понимания природы и построения моделей, позволяющих предсказывать и объяснять различные явления. Изучение симметрии продолжает быть одной из активных областей исследований и вносит значительный вклад в развитие науки и технологий.

Какие исторические факты способствовали возникновению концепции симметрии в математике?

Возникновение концепции симметрии в математике было обусловлено несколькими историческими факторами. Одним из них была работа Архимеда, который в своих исследованиях использовал симметричные формы и отношения. Ещё одним фактором были исследования египетских математиков, которые также использовали симметрию в своей работе. Важным вехой стало открытие группы симметрии окружности, которое сделал Пафнутий Чебышёв в 1871 году.

Как симметрия применяется в современных математических исследованиях?

Симметрия играет важную роль в современных математических исследованиях. Она используется в различных областях, таких как геометрия, алгебра, теория чисел и топология. Например, симметричные алгебраические структуры, такие как группы и кольца, являются основой абстрактной алгебры. Симметричные объекты и преобразования также используются для решения различных задач в физике, химии и биологии.

Какие вклады в исследование симметрии внесли математики в разные эпохи?

Математики разных эпох внесли значительные вклады в исследование симметрии. В Древней Греции Архимед использовал симметрию в своих исследованиях и доказательствах. В средние века учёные изучали симметрию в геометрии и алгебре. В новое время Пафнутий Чебышёв разработал теорию симметрии функций и внёс важный вклад в развитие математики. Современные математики продолжают исследование симметрии и применяют её в различных областях математики и наук.

Какие великие математики внесли вклад в исследование симметрии?

В исследование симметрии в математике внесли вклад множество великих умов. Некоторые из них: Архимед, Евклид, Леонардо Пизанский (Фибоначчи), Карл Фридрих Гаусс, Эмиль Эртель, Феликс Клейн, Георг Кантор, Эмиль Артин, Хари Шандер, Андрей Колмогоров, Александр Гротендик.

Какая роль симметрии в математике?

Симметрия играет важную роль в математике. Она помогает упростить и классифицировать объекты, а также найти закономерности и общие свойства. Симметричные фигуры и структуры также имеют эстетическое значение и широко используются в различных областях, включая геометрию, алгебру, теорию чисел и фракталы.

Какие приложения симметрии существуют в современном мире?

Симметрия имеет множество приложений в современном мире. Некоторые из них включают дизайн и архитектуру, кристаллографию, компьютерную графику, криптографию, физику и химию. Например, симметричные кристаллические структуры используются в разработке новых материалов, а симметрия в компьютерной графике помогает создавать реалистичные визуальные эффекты и анимацию.